Fermat'nın Son Teoremi

Gerek kurgusu gerek içeriği ile çok beğendiğim bir kitap. Meşhur Fermat Teoreminin hikayesini mükemmel bir şekilde anlatan bu kitabı, içindeki matematiksel teoremlerin hiçbirini atlamadan  bir solukta okudum. Kitabı elinize alıp gözattığınızda bir matematik kitabı imajı veriyor ve özellikle matematiğe yabancı dimağları korkutabiliyor. İlk bölümlerde hikayeyi eski yunandan başlatıp günümüze kadar mükemmel bir ustalıkla işleyen ve değindiği her konunun aslında Fermat’nın teoremi ile bir şekilde ilişkisi olduğunu sunan üslubuyla, bu teoremleri sunan matematikçilerin yaşamlarını da çok iyi işleyerek ilerliyor. Bu yaşamlardan, matematiğin ötesinde de bir çok bilgi ediniyoruz. Bahsedilen matematikçilerden bir çoğu tanıdık bildik isimler; Pisagor, Euler, Cauchy, Lagrange, Gauss, Alan Turing, John von Neuman. Bunlara bir çok önemli ve yeni isim ekliyoruz ki bunların en önemli üç tanesi Taniyama, Shimura ve Andrew Wiles.

Simon Singh’in kitabı özellikle bilimsel veya teknik alanlarda çalışan herkes için tam bir ilham kaynağı olmanın ötesinde aynı zamanda bir yol gösterici ve bir rehber. Büyük dehaların nasıl yılmadan çalıştıklarını, amaçlarına ulaşmalarındaki kararlılıkları ve bilimin gelişiminin önemli adımlarını görüyoruz. Aynı zamanda bilimsel duraklama hatta gerileme dönemlerinin hangi bağnazlıklar sonucu olduğunu insalığa zarar veren sapkın fikirlerin  nasıl bilime karşı savaş verdiğini de görüyoruz.

Kitabın bütününden çıkardığım en önemli sonuçlardan birisi de, eğer bilimsel bir çalışma yapıyorsanız ve yeni bir takım teorileri ispatlamak ya da daha iyi açıklamak gibi fikirleriniz varsa, sizden öncekilerin çalışmalarına titizlikle yaklaşmanız gerektiğidir.  Onların ne kadar iyi ve deha oldukları hem sizi korkutmamalı hem de önyargı oluşturmamalı. Ancak kesinlikle küçümsememelisiniz de. Kısacası yeni bir alanda bir bilimsel teoriyle uğraşıyorsanız onun tarihsel sürecini de incelemeniz oldukça yararlı olacaktır.

Bu arada madem koskoca bir kitapta Fermat’nın ortaya attığı meşhur problemden bahsediliyor, buna da kısaca değinelim. MÖ 500’lü yıllarda Pisagor, tüm dik üçgenler için, z hipotenüs olmak üzere:

x² + y² = z²

Denklemini ispatlayarak bilim tarihinde inanılmaz bir olayı gerçekleştiriyordu. Sadece geometri için önemli olan bir buluşun ötesinde mutlak doğru ve ispat kavramlarını da oldukça geliştiriyordu. Bu teoremden hareketle, Pisagor’dan yıllar sonra (17 yy da), Fermat, matematikçiler için kabus olacak bir problem ortaya atıyordu ve işin daha da kötüsü problemin çok çok kolay gözükmesiydi. Fermat’nın sorusu tam olarak şudur:

n > 2 için

xⁿ +yⁿ = zⁿ denkleminin tam sayılı çözümünün mevcut olmadığını gösteriniz.

Fermat bu kadarıyla da yetinmemiş, ispatı yaptığını ve açıklamayacağını da eklemiştir. Notlarında benzer iddialarla yazdığı diğer teorileri zamanla ispatlanınca matematikçiler için bu teoremi çözmek artık bir meydan okumaya dönüşmüştür. Kendisinin bunu çözüp çözemediği ise, Fermat ile birlikte bir sır olarak yok olmuştur.

Matematik Dünyası dergisinin mail gruplarında sorulan bir soruya yanıt olarak yazdığım bir mesaj vardı. Bu yanıtı biraz toplarlayıp yayınlamayı uygun buldum. Soru uzunca bir soruydu ama benim yanıtım temelde aşağıdaki iki soruya yanıt vermekteydi; Bilgisayarın her alanı matematiğe aynı oranda mı muhtaçtır? Matematik bilmeyen programcı olabilir mi?

Birinci konu, matematik bir modelleme aracıdır. Kutsallaştırılacak ya da tapılacak bir soyut kavram olmaktan cok, işimizi kolaylaştırıcı bir iletişim aracıdır. Ayrıca matematik doğanın insanlar tarafından evrensel olarak modellenmesinin yöntemi ve sonucudur, sebebi degildir. Burada yanılmayalım. Gelinen noktada da oldukça yetersizdir. Matematikçilerin çalışması da bunu ilerletme çabasıdır. Matematiksel yöntemlerin, matematiğin mantıksal işleyişine biraz aşina olan kişiler tarafından ilgi çekmesi, hem doğal olayları kavrayıştaki düşünce sistematiğini geliştirmesi, hem de doğayla ve insan mantığıyla uyumlu olmasından kaynaklanır. Diğer tüm bilimlerde ortak nokta olmasının sebebiyse onların bir parçasi olmasından değil onların bir yöntemi olmasındandır. Kısacası günlük iletişimde ya da ifadelerde dilin yeri neyse formel bilimlerde de matematik aynı noktadadır.

Bilgisayar teknolojisi ve işleyişi mekanik sistemlerin yerini alarak hayatımıza girmeye başladı. Fiziksel koşullar yerine (a mili b çarkını döndürürse c pistonu x yönünde hareket etsin gibi), elektriksel koşullarla alet üretiminin gerçekleşmesi su anda bilgisayar olarak karşımızda. Daha bir üst aşama olarak, elektriksel koşul ifadelerini gerçekleyen genel amaçlı işlemcilerin programlanabilir yapısı sayesinde insanın daha da kolay anlayıp ürün geliştirebildiği programlama dilleri oluştu. Sonuçta fizik, matematik, kimya hepsi bilgisayar sistemlerinin işleyisinde bir derece öneme sahiptir. Örnegin mikroişlemci teknolojisini geliştirmek amaçlı çalışan bir grubun yarı iletken teknolojisi konusunda ilerleme sağlaması için ciddi atom modeli bilgisine sahip ekip üyeleri olmalıdır. Bu şekilde baktığımızda bilgisayar alanında bir çalısma yürütmek mi yoksa bir matematikçi olarak mı çalışmak istediginizin netleşmesi gerekir.

Matematikçi olarak bilgisayar bilimlerine ilgi duyuyorsanız, bir sınırlama yoktur. Hangi alan daha cekici geliyorsa o noktayı inceleyip matematiksel modellemelerdeki eksikler üzerine fikir yürütebilir ya da mevcut modelleri inceleyebilisiniz. Ancak asıl alanınız bilgisayar ise, daha seçici olmanız gerekir. Matematiğin görece daha yoğun kullanıldığı alan olarak yazılımı söyleyebilirim. Ancak bu bile tamamen yapacağınız uygulamaya bağlıdır. Mesela Grafik arabirimli üst seviye bir dilde, ilköğretim eğitimindeki
matematik işinizi (buna veritabanı kısmı da dahil) görürken, optimizayson yapan bir yazılımla ugraşıyorsanız, bir matematikçinin o alandaki calışmaları bile size yetersiz gelebilir. Asıl ayrım noktası burasıdır. “Programcı” olmak için her bilgiyi bilmeniz gerekmez, ihtiyaç duyabileceğiniz yazılımsal kütüphanelerdeki nesnelerin ya da fonksiyonların nasıl kullanılacağını bilmeniz yeterlidir. Ama mevcut olanlar işinizi görmüyorsa, ya da yeni bir yöntem geliştirilmesi gereken bir alanda yazılım geliştirici olarak çözüm sunmak istiyorsanız (ki işler her zaman istekler doğrultusunda olmaz) o zaman matematiksel yaklaşımlara ihtiyaç duyarsınız. Çünkü bu bütünü oluşturan her parçanın altında diğer bilim dallarına kıyasla çok daha fazla mantıksal işleyiş ve cok daha fazla matematiksel model vardır. Bilgisayar alanında derinlemesine çalışma yapmak isteyen kişiler için bu alandaki matematik bilgisinin cok iyi olmasi kaçınılmazken, sadece sınırlı alanlarda programlama ile uğrasan kişiler için temel bir bilgi düzeyi (orta öğretim müfredatı) yeterli olacaktır.

Tecrübelerimden bildiğim kadarıyla en çok matematiksel yöntem oyunlarda kullanılıyor. Grafik modellemeler için lineer cebir ve geometrinin çok ciddi bir bölümü kullanılıyor. Oyun senaryolarında çok fazla olasılık kuramı kullanılıyor. Diğerlerinden farklı olarak hazir kütüphaneler kullansanız bile oyun karakterlerinin hareketi tamamen uygulama bağımlı olduğu için belirli bir koordinat sitemine göre calışmanız gerekiyor ya da oyun akışında karsılaşılacaklar ihtimallere göre belirleniyor. Burda bile yeni yöntemler geliştirecek kadar derin bir bilgi yerine varolani anlayacak kadar bir matematik bir çok durumda yeterlidir. Genel olarak bilgisayarda matematiğin en cok kullanıldığı noktalar ozellikle lineer cözümü olmayan işlemlerin bilgisayara yaptırıldığı yerlerdir. Yapay zeka uygulamaları, lineer olmayan optimizasyon işlemleri ya da çok yüksek veri işlenmesini gerektiren lineer yontemlerde bu gruba dahil edilebilir. Eğitim amaçlı matematiksel yazılımları, ya da mühendislik yazılımlarını bu alanın dışında tuttum. Çünkü MatLab, ya da Mathematica gibi yazılımları ortaya çıkarmak için gereken matematik bilgisi bir insanin sınırlarının çok ötesinde olabilir.

Matematik ve bilgisayar ile ilgili daha çok görüs ariyorsaniz programcıların yer aldığı mail gruplarındaki fikirleri de gözden geçirmenizi neririm. Bu konudaki tartışmalardan biri, C ve Sistem Programcılari Derneği’nin mail grubunda olmuştu. www.csystem.org adresinden gruba üye olarak arşivden bakabilirsiniz. “Matematik ve Programlama” başlıklı mesajlar tam olarak sizin sorunuzla ilgili kişisel görüşlere yer vermekteydi.